Geometri Dimensi Dua (03)

Transformasi Bangun Datar

Translasi atau Pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.
Jarak dan arah tertentu dapat diwakilkan oleh :

$\odot$	ruas garis berarah, misal $\vec{AB}$
$\odot$	suatu pasangan bilangan, misal $\left( \begin{array}{r} a\\ b\end{array} \right)$

Misal titik P(x, y) ditranslasikan oleh T =  $\left( \begin{array}{r} a\\ b\end{array} \right)$, maka bayangannya adalah P'(x', y')
dimana ;

x' = x + a y' = y + b

atau

P'(x + a, y + b)

Contoh :
Nomor 1 :
Bayangan titik A(2, -4) oleh translasi T =  $\left( \begin{array}{r} 1\\ 3\end{array} \right)$ adalah ....
Jawab :
x' = 2 + 1 = 3
y' = -4 + 3 = -1
Jadi, bayangan titik A(2, -4) oleh translasi T =  $\left( \begin{array}{r} 1\\ 3\end{array} \right)$ adalah A'(3, -1)
Nomor 2 :
Suatu translasi T memetakan titik B(1, 5) ke titik B'(6, 0), maka translasi T-nya adalah ....
Jawab :
misal translasi T =  $\left( \begin{array}{r} a\\ b\end{array} \right)$, maka

x' = x + a 6 = 1 + a 1 + a = 6 a = 6 $-$ 1 a = 5

y' = y + b 0 = 5 + b 5 + b = 0 b = 0 $-$ 5 b = -5

Jadi, translasi T adalah $\left( \begin{array}{r} 5\\ -5\end{array} \right)$


Refleksi atau Pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin.

Transformasi	Hasil Transformasi
Refleksi terhadap sumbu X	(x, y) $\rightarrow$ (x, $-$y)
Refleksi terhadap sumbu Y	(x, y) $\rightarrow$ ($-$x, y)
Refleksi terhadap garis x = a	(h, k) $\rightarrow$ (2a$-$h, k)
Refleksi terhadap garis y = b	(h, k) $\rightarrow$ (h, 2b$-$k)
Refleksi terhadap pusat O (0, 0)	(x, y) $\rightarrow$ ($-$x, $-$y)
Refleksi terhadap garis y = x	(x, y) $\rightarrow$ (y, x)
Refleksi terhadap garis y = $-$x	(x, y) $\rightarrow$ ($-$y, $-$x)

Contoh :
Bayangan titik C(7, -3) karena refleksi sumbu x adalah ....
Jawab :
Bayangan titik C(7, -3) karena refleksi sumbu x adalah C'(7, 3)


Rotasi atau Perputaran adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu.
Misal titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) sebesar $\theta$ berlawanan arah jarum jam, maka bayangannya adalah P'(x', y').
dimana ;

x' = x.cos $\theta$ $-$ y.sin $\theta$ y' = x.sin $\theta$ + y.cos $\theta$

atau

$\left( \begin{array}{r} x'\\ y'\end{array} \right)$ = $\left( \begin{array}{rr} cos \theta & -sin \theta\\ sin \theta & cos \theta \end{array} \right)$. $\left( \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right)$

Contoh :
Bayangan titik D(8, -4) karena rotasi yang berpusat di O sebesar $\frac{1}{3}\pi$ adalah ....
Jawab :
misal bayangan titik yang terbentuk adalah D'(x', y'), maka :
$\left( \begin{array}{r} x'\\ y'\end{array} \right)$ = $\left( \begin{array}{rr} cos \theta & -sin \theta\\ sin \theta & cos \theta \end{array} \right)$. $\left( \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right)$

karena $\theta$ = 60$^0$, $x$ = 8, dan $y$ = $-$4 maka,

$\left( \begin{array}{r} x'\\ y'\end{array} \right)$ = $\left( \begin{array}{rr} cos \frac{1}{3}\pi & -sin \frac{1}{3}\pi \\ sin \frac{1}{3}\pi & cos \frac{1}{3}\pi  \end{array} \right)$. $\left( \begin{array}{r} 8\\ -4 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{r} x'\\ y'\end{array} \right)$ = $\left( \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2}  \end{array} \right)$. $\left( \begin{array}{r} 8\\ -4 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{r} x'\\ y'\end{array} \right)$ = $\left( \begin{array}{r} 4 + 2\sqrt{3}\\ 4\sqrt{3} - 2 \end{array} \right)$
Jadi,  bayangan titik D(8, -4) karena rotasi yang berpusat di O sebesar $\frac{1}{3}\pi$ adalah D'(4 + 2$\sqrt{3}$, 4$\sqrt{3} - $2)


Dilatasi atau Perubahan skala adalah suatu transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun tanpa mengubah bentuk.
Suatu dilatasi ditentukan oleh :
1. pusat dilatasi
2. faktor dilatasi atau faktor skala
Misal bayangan titik P(x, y) oleh dilatasi [O, k] adalah P'(x', y').
dimana ;

$x' = kx$ $y' = ky$

Contoh :
Bayangan titik E(8, -6) oleh dilatasi [O, $\frac{3}{2}$]  adalah ....
Jawab :

$x' = kx$ $x' = \frac{3}{2}.8$ $x' = 12$

$y = ky$ $y' = \frac{3}{2}.(-6)$ $y' = -9$

Jadi, bayangan titik E(8, -6) oleh dilatasi [O, $\frac{3}{2}$]  adalah E'(12, -9)


Tugas

1.	Bayangan titik K(4, 3) oleh translasi T adalah K'(1, 0). Maka translasi T adalah ....
2.	Sebuah titik M dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik M'(3, 5), maka titik M adalah ....
3.	Bayangan titik R(12, -10) karena rotasi yang berpusat di O sebesar $\frac{1}{2}\pi$ adalah ....
4.	Bayangan titik T(-15, 20) oleh dilatasi [O, $\frac{3}{5}$]  adalah ....